Аналоговые измерительные устройства

6.5.2.1. Фильтры нижних частот.

          Фильтр нижних частот является схемой, которая без изменений передает сигналы нижних частот, а на высоких частотах обеспечивает затухание сигналов и за­паздывание их по фазе относительно входных сигналов.

Пассивные фильтры нижних частот первого порядка

          На рис.2.25 изображена схема простого RС-фильтра нижних ча­стот первого порядка. Коэффициент передачи в комплексном виде может быть выражен формулой:

          . (2.45)
Рис. 2.25                         Отсюда получим формулы для АЧХ  и ФЧХ

,   .                        (2.46)

          Положив   получим  выражение  для   частоты среза ωСР

           .               (2.47)

          Фазовый сдвиг на этой частоте  составляет – 450  .
          | К |  = 1 = 0 дБ на нижних частотах f << fCР .
          На высоких частотах f >> Р   согласно  формуле (2.46),  | К | ≈ 1/ (ωRC),
          т.е. коэффи­циент передачи обратно пропорционален частоте. При увеличении частоты в 10 раз коэффициент усиления уменьшается в 10 раз, т. е. он уменьшается на 20 дБ на дека­ду или на 6 дБ на октаву. | К |  = 1/√2 = -ЗдБ при f = fСР .
          Для более быстрого уменьшения коэффициента передачи можно включить n фильтров нижних частот последовательно.     При  последовательном соединении нескольких фильтров нижних частот частота среза приближенно определяется как

.       (2.48)

          Для случая n фильтров с равными частотами среза

              (2.49)

          При частоте входного сигнала  fВХ>> fСР  для схемы (рис. 2.25) получим

.             (2.50)

          Из 2.50 видно, что ФНЧ может выступать как интегрирующее звено.
Для переменного напряжения, содержащего постоянную составляющую  выходное напряжение можно представить в виде

,          (2.51)

          где   - среднее значение         
          Фильтр нижних  частот может выступать в качестве детектора средних значений.
          Для реализации общего подхода к описанию фильтров необходимо нормировать комплексную переменную р.

.                 (2.52)

          Для фильтра рис. 2.25 получим Р = рRC и 

.                                             (2.53)

          Использую передаточную функцию для оценки амплитуды выходного сигнала от частоты, получим

.                          (2.54)

          Передаточная функция ФНЧ в общем виде может быть записана в виде

,                             (2.55)

          где с1, с2 ,…, сn– положительные действительные коэффициенты.
          Порядок фильтра определяется максимальной степенью переменной Р. Для реализации фильтра необходимо разложить полином знаменателя на множители. Если среди корней полинома есть комплексные, в этом случае следует записать полином в виде произведения сомножителей второго порядка

,                    (2.56)

          где аi и bi– положительные действительные коэффициенты. Для нечетных порядков полинома коэффициент  b1 равен нулю.

Активные фильтры нижних частот первого порядка

          Простой фильтр, изображенный  на рис. 2.26, обладает недостатком: свойства фильтра зависят от нагрузки. Для устранения этого недостатка фильтр  необходимо дополнить преобразователем полного сопротивления. Схема фильтра с преобразователем полного сопротивления показана на рис. 2.27. Коэффициент передачи постоянного сигнала может быть задан выбором значений резисторов R2 и R3.

.             (2.57)

          Для упрощения схемы ФНЧ можно использовать RC- цепь для обратной связи операционного усилителя.  Подобный фильтр показан на рис. 2.27.

          <           
 
      Рис. 2.26                                                              Рис. 2.27

          Передаточная функция фильтра (рис. 2.27) имеет вид

.                       (2.58)

          Для расчета фильтра необходимо задать частоту среза fСР   (ωСР), коэффициент передачи постоянного сигнала К0 (для схемы на рис. 2.27 он должен быть задан со знаком минус) и емкость конденсатора С1. Приравняв коэффициенты полученной передаточной функции коэффициентам выражения 2.56 для фильтра  первого порядка, получим

 и   .                    (2.59)

Пассивный фильтр нижних частот второго порядка

На основании выражения (2.56) запишем в общем виде передаточную функцию ФНЧ второго порядка
.                       (2.60)

          Такая передаточная функция не может быть реализована с помощью пассивных RC-цепей. Подобный фильтр может быть реализован с применением индуктивностей. На рис. 2.28 показана схема пассивного ФНЧ второго порядка.
          Передаточная функция фильтра имеет вид
                      .       (2.61)
Рассчитать   фильтр  можно,  воспользовавшись  формулами 
Рис. 2.28                    
          и          .                           (2.62)
          Например,  для  ФНЧ  второго  порядка  типа  Баттерворта   с   коэффициентами   а1 = 1,414 и b1 = 1,000, задав частоту среза fСР=  10 Гц и емкость С = 10мкФ, из (2.62) получим R = 2,25 кОм  и   L = 25,3 Гн.
          Подобные фильтры неудобны для реализации из-за слишком большой индуктивности. Заданную передаточную функцию можно реализовать с помогщью операционного усилителя с соответствующими RC – цепями, что позволяет исключить индуктивности.

Активные ФНЧ второго порядка

          Примером активного ФНЧ второго порядка является фильтр со сложной отрицательной обратной связью, схема которого показана на рис. 2.29.
          Передаточная функция данного фильтра имеет вид
 


       



Рис. 2.29
          Для расчета фильтра можно записать 

,
,  (2.63)

          При расчете схемы лучше задавать значения емкостей конденсаторов и вычислять необходимые значения сопротивлений.

.
,            (2.64)
.

          Для того чтобы значение сопротивления R2 было действительным, должно выполняться условие 

.                (2.65)

          Фильтры с отрицательной обратной связью могут быть реализованы с высокой добротностью.
          Активный ФНЧ второго порядка  может быть построен на основе ОУ с омической отрицательной обратной связью и на основе ОУ с положительной обратной  связью.  Примеры  подобных  фильтров   показаны  на  рис. 2.30   и рис. 2.31.


Рис. 2.30                                                           Рис. 2.31


ФНЧ третьего и более высоких порядков

          Для реализации ФНЧ более высокого порядка, чем второй, можно последовательно соединить фильтры первого и второго порядка. В этом случае характеристики звеньев фильтра перемножаются. Однако, чтобы результат перемножения частотных характеристик звеньев фильтра соответствовал желаемому типу фильтра, необходимо задавать соответствующие коэффициенты звеньев фильтра. На рис. 2.32 приведен пример реализации ФНЧ Бесселя третьего порядка.


Рис. 2.32

          Пусть частота среза фильтра fСР = 100 Гц. Задав значение емкости С1 = 100 нФ, из выражения , получим R1 = 12,03 кОм. Для второго каскада фильтра зададим С3 = 100 нФ. Для второго каскада, чтобы R2 и R3 были действительными должно выполняться условие

.           (2.66)

          Из этого условия находим С2

.

          Выбрав R2 = R3, получим 

.        (2.67)

          Выбрав С2 из стандартного ряда С2 = 47 нФ получим          
          R2 = 11,51 кОм;  R3 = 22,33 кОм.
          В схеме рис. 2.32 ФНЧ первого порядка может быть выполнен на пассивных элементах (простой RC-фильтр).


© Copyright 2008, SLAiPS. All Rights Reserved. | Design by Design by analogiu.ru